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如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆数学公式(a>b>0)的右焦点为F,上下顶点分别为A,B,直线BF交椭圆于C点,且数学公式
(1)求椭圆的离心率;
(2)若P点是椭圆上弧AC上动点,四边形APCB面积的最小值为数学公式,求椭圆的方程.

解:(1)设点F(c,0),B(0,-b),C(x,y)
=3,得:(c,b)=3(x-c,y)
解得:C(c,)代入椭圆方程得:+=1,
∴e==,a2=2c2,b=c;
(2)由(1)椭圆方程可写为+=1,点C(b,),
直线AC:x+2y-2b=0,,AC=b,
设点P(x,y):x2+2y2=2b2,点P到直线AC距离为d=
(x+2y)2=x2+4y2+4xy≤x2+4y2+2(x2+y2)=3(x2+2y2)=6b2
∴dmax=b,
∴由Smax==,b2=1,椭圆方程为:x2+2y2=2
注:本题也可以求出平行于直线AC的切线:,得到点到直线AC的最大距离解题.
分析:(1)设点F(c,0),B(0,-b),C(x,y)由=3,可求得C(c,)代入椭圆方程得:+=1,从而可求得椭圆的离心率;
(2)设点P(x,y),点P到直线AC距离为d=,可求得(x+2y)2=x2+4y2+4xy≤x2+4y2+2(x2+y2)=3(x2+2y2)=6b2,从而可得dmax=b,由Smax==,可求得b2=1,从而可求得椭圆方程.
点评:本题考查椭圆的简单性质与标准方程的应用,求得(x+2y)2≤6b2,是关键也是难点,考查综合分析与转化应用的能力,属于难题.
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