分析 (1)利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD,即可证明结论;
(2)利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC.由(I)得∠BAE=90°,∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°,即可得到∠B=30°.进而得到△ACE∽△BCA,即可求$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$的值.
解答 (1)证明:∵AC是⊙O的切线,∴∠B=∠EAC.
又∵DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD=∠DCB,
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,∴∠ADF=∠AFD.
∴AD=AF.
(2)解:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠EAC.
由(1)得∠BAE=90°,∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°,
∴∠B=30°.
∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,
∴△ACE∽△BCA,
∴$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$=$(\frac{AE}{AB})^{2}=(tan\frac{π}{6})^{2}=\frac{1}{3}$.
点评 熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键.
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