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16.已知函数$f(x)=\sqrt{3}sin(ωx+φ)(ω>0,-\frac{π}{2}≤φ<\frac{π}{2})$的图象关于直线$x=\frac{π}{3}$对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)当$x∈[0,\frac{π}{2}]$时,求函数y=f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)由题意易得周期为π,可得ω,再由对称轴可得φ值;
(2)利用(1)可得解析式,由x范围结合三角函数的性质可得最值.

解答 解:(1)∵函数f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,
∴?(x)的最小正周期T=π,∴ω=$\frac{2π}{T}$=2,
又∵f(x)图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称,
∴2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
∵-$\frac{π}{2}$≤φ<$\frac{π}{2}$,∴φ=-$\frac{π}{6}$.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
∵x∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$],
∴sin(2x-$\frac{π}{6}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x)min=f(0)=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,f(x)max=f($\frac{π}{3}$)=$\sqrt{3}$.

点评 本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的对称性和最值,属中档题.

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