分析 (1)an=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$,则an+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$,an-1-an=$\frac{2({S}_{n+1}-{S}_{n})}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$,整理an-1=3an,当n=1时,求得a1,求得数列{an}是等差数列,即可求得数列{an}的通项公式an及Sn;
(2)求得bn的通项公式,分别求得当n≤3时及当n≥4时数列{bn}的前n项和Tn.
解答 解:(1)由题意,an=$\frac{{2{S_n}+1}}{3}$,n∈N*,则an+1=$\frac{2{S}_{n+1}+1}{3}$,
作差得:an+1-an=$\frac{2({S}_{n+1}-{S}_{n})}{3}$=$\frac{2}{3}{a}_{n+1}$,
化简得:an+1=3an,
又n=1时,a1=$\frac{2{S}_{1}+1}{3}$=$\frac{2{a}_{1}+1}{3}$,解得a1=1,
故数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,则an=3n-1,
Sn=$\frac{1(1-{3}^{n})}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$;
(2)an-10=3n-1-10,
则bn=|an-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-{3}^{n-1}}&{n≤3}\\{{3}^{n-1}-10}&{n≥4}\end{array}\right.$,
当n≤3时,Tn=10n-$\frac{1(1-{3}^{n})}{1-3}$=10n-$\frac{{3}^{n}-1}{2}$,
当n≥4时,Tn=T3+$\frac{{3}^{3}(1-{3}^{n-3})}{1-3}$-10(n-3)=17+$\frac{{3}^{n}-27}{2}$-10+30=$\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}$
综上则Tn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20n-{3}^{n}+1}{2}}&{(n≤3)}\\{\frac{{3}^{n}-20n+67}{2}}&{(n≥4)}\end{array}\right.$.
点评 本题考查利用数列的递推公式求通项公式,考查等比通项公式及前n项和公式,考查分类讨论法,综合考查分析问题及解决问题的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | 1 | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
车间 | 每辆童车所需的加工工时 | 有效工时(小时/日) | |
A | B | ||
机械 | 0.8 | 1.2 | 40 |
油漆 | 0.6 | 0.8 | 30 |
装配 | 0.4 | 0.6 | 25 |
利润(元/辆) | 6 | 10 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{7}{10}$ | D. | $\frac{3}{10}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ | B. | $(\frac{1}{2},1)$ | C. | $(\frac{1}{3},1)$ | D. | $(-\frac{1}{3},\frac{1}{2})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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