Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在棱AB上．

(1)若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（2）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1)详见解析；（2）

解析试题分析：（1）要证明AC₁∥平面B₁CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC₁即可；
（2）可以以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量与平面B₁CD的法向量，然后利用向量夹角公式即可.
试题解析：解:(1)证明：连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，

所以侧面BB₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，所以DE//AC₁．
因为DE平面B₁CD，AC₁平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD．6分
（2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．

则B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．设D(a,b,0)（，），因为点D在线段AB上，且，即．
所以，，，,．
平面BCD的法向量为．设平面B₁CD的法向量为，
由，，得，
所以，，.所以．
所以二面角的余弦值为．12分
考点：(1)空间位置关系的证明；（2）平面向量在立体几何中的应用.