Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2． （Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90° ∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1 ．
∴B1C1⊥CD
由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知 ，
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）解：当 时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．
假设在AA1上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1 ．
如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1 ， 则EB1⊥CD
所以∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角
∴∠B1EC1=60°
由B1C1=2知，
设AD=x，则
∵△DCC1的面积为1∴
解得 ，即
∴在AA1上存在一点D满足题意
解法二：
（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1
所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．
即
由 得
由 得
又DC1∩C1B=C1
∴CD⊥平面B1C1D又CD平面B1CD
∴平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）当 时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．
设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），

设平面B1CD的法向量为
则由 令z=﹣1
得
又∵ 为平面C1CD的法向量
则由
解得 ，故 ．
∴在AA1上存在一点D满足题意


【解析】
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．