Question

【题目】选做题：几何证明选讲 如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．

（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，

所以 ，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以 ．

所以E是AB的中点

（2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得 ，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以

【解析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到 ，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．