Question

已知盒子A中有m个红球与10-m个白球，盒子B中有10-m个红球与m个白球（两个盒子中的球形状、大小都相同）．
（Ⅰ）分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数．
（ⅰ）请写出随机变量ξ的分布规律，并证明Eξ等于定值；
（ⅱ）当Dξ取到最小值时，求m的值．
（Ⅱ）在盒子A中不放回地摸取3个球．事件A：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球．事件B：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，若P（A）=P（B），求m的值．

Answer 1

（Ⅰ） 由题意可得：ξ表示红球的个数，则ξ可能取的值为：0，1，2，
（i）根据题意可得：P（ξ=0）=

C 110-m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)m

100

，P（ξ=1）=

C 110-m C 110-m + C 1m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)2+m2

100

，P（ξ=2）=

C 110-m C 1m

C 110 C 110

=

(10-m)m

100

，
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	(10-m)m 100	(10-m)2+m2 100	(10-m)m 100

所以Eξ=1×

(10-m)2+m2

100

+2×

(10-m)m

100

=1，
所以Eξ等于定值1．
（ii）由（i）可得：Dξ=

(10-m)m

100

+

(10-m)m

100

=

-(m-5)2+25

50

，并且1≤m≤9，
所以当m=1=9时D_ξ取最小值为：

9

50

．
（Ⅱ）因为事件A：在第一次取到红球后，以后两次都取到白球，
所以P(A)=

C 1m C 210-m

C 1m C 29

=

(10-m)(9-m)

72

，
又因为事件B：在第一次取到白球后，以后两次都取到红球，
所以P(B)=

C 2m C 110-m

C 110-m C 29

=

m(m-1)

72

．
因为P（A）=P（B），
所以

(10-m)(9-m)

72

=

m(m-1)

72

，解得：m=5．