例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5．
①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．
分析：①根据函数以5为周期的性质知：f（4）=f（4-5）=f（-1），在根据函数为奇函数知f（1）=-f（-1）=-f（4）即证
②根据二次函数的特点利用待定系数法设出二次函数的解析式f（x）=a（x-2）2-5（a＞0），将①的结论代入即可求解
③根据函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．知f（0）=0，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，利用待定系数法设函数解析式为：f（x）=kx（-1≤x≤1）得到函数y=f（x）=-3x（-1≤x≤1），在利用函数的周期性即可求解
解答：解：①∵f（x）是以5为周期的周期函数
∴f（4）=f（4-5）=f（-1）
∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数
∴f（1）=-f（-1）=-f（4）
∴f（1）+f（4）=0．
②当x∈[1，4]时，由题意可设f（x）=a（x-2）
2-5（a＞0）
由f（1）+f（4）=0得a（1-2）
2-5+a（4-2）
2-5=0
∴a=2
∴f（x）=2（x-2）
2-5（1≤x≤4）
③∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数
∴f（0）=0
∵y=f（x）在[0，1]上是一次函数
∴可设f（x）=kx（0≤x≤1），而f（1）=2（1-2）
2-5=-3
∴k=-3
∴当0≤x≤1时，f（x）=-3x
从而当-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=-3x
故-1≤x≤1时，f（x）=-3x
∴当4≤x≤6时，有-1≤x-5≤1
∴f（x）=f（x-5）=-3（x-5）=-3x+15
当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，
∴f（x）=f（x-5）=2[（x-5）-2]
2-5=2（x-7）
2-5
∴
f(x)= | | -3x+15 4≤x≤6 | | 2(x-7)2-5 6＜x≤9 |
| |
点评：本题考查了二次函数的性质，函数的周期性、奇偶性，函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．
