Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=$\frac{π}{2}$，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用余弦定理解出AC，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，根据面面垂直的性质得出AC⊥平面ABEF．
（2）以A为原点，AB为x轴，AF为y轴，AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABCD与平面DEF所成二面角的正弦值．

解答 证明：（1）在△ABC中，AB=1，BC=2，∠CBA=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠CBA}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AF为y轴，AC为z轴，建立空间直角坐标系，
D（-1，0，$\sqrt{3}$），E（1，2，0），F（0，3，0），
$\overrightarrow{DE}$=（2，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DF}$=（1，3，-$\sqrt{3}$），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=x+3y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，\sqrt{3}$，4），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设平面ABCD与平面DEF所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{22}}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-\frac{3}{22}}$=$\frac{\sqrt{418}}{22}$．
∴平面ABCD与平面DEF所成二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{418}}{22}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．