Question

2．设正实数m，n，t满足m²-3mn+4n²-t=0，则当$\frac{t}{mn}$取得最小值时，m+2n-t的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求得t=m²-3mn+4n²，（m，n，t＞0），代入$\frac{t}{mn}$，整理后运用基本不等式，可得m=2n，取得最小值，此时t=mn=2n²，代入m+2n-t，运用二次函数的最值求法，可得最大值．

解答 解：m²-3mn+4n²-t=0，可得
t=m²-3mn+4n²，（m，n，t＞0），
即有$\frac{t}{mn}$=$\frac{{m}^{2}-3mn+4{n}^{2}}{mn}$
=$\frac{m}{n}$+$\frac{4n}{m}$-3≥2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{4n}{m}}$-3=1，
当且仅当m=2n时，取得最小值1．
此时t=mn=2n²，
则m+2n-t=4n-2n²=-2（n-1）²+2，
当n=1时，m+2n-t取得最大值2．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查二次函数的最值的求法，注意运用配方，考查运算能力，属于中档题．