Question

已知圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0距离最小的圆的方程.

Answer 1

解析：方法一:设圆心C的坐标为(a,b),半径为r,由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,圆C截x轴所得弦长为r,所以r=|b|.?

又截y轴所得的弦长为2,所以r²=a²+1.所以2b²-a²=1.?

圆心C(a,b)到直线l:x-2y=0的距离即5d²=(a-2b)²=a²+4b²-4ab≥a²+4b²-2(a²+b²)=2b²-a²=1,当且仅当a=b时取等号,此时5d²=1,从而d取最小值.?

于是有r=.

所求圆的方程为(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.?

方法二:由方法一,得

所以a-2b=±d,a=2b±d.

代入2b²-a²=1,得2b²±4bd+5d²+1=0.(*)?

将其视为关于b的一元二次方程,因为b∈R,?

所以Δ=8(5d²-1)≥0,即5d²≥1.?

从而d有最小值.代入(*)式,?

解得b=±1,a=±1,余下同方法一.