Question

已知函数f（x）=2asinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x，且f（

π

3

）=0．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-

π

3

，

π

6

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简解析式可得f（x）=asin2x+

3

cos2x，由f（

π

3

）=asin（2×

π

3

）+

3

cos（2×

π

3

）=0，从而解得a=1，可得函数解析式为f（x）=2sin（2x+

π

3

），
即可求周期．
（2）由x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，即可取得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2asinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x，
=asin2x+

3

cos2x，
∵f（

π

3

）=asin（2×

π

3

）+

3

cos（2×

π

3

）=0．
∴

3

2

a-

3

2

=0，从而解得a=1．
∴f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，
∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴2sin（2x+

π

3

）∈[-

3

，2]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象与性质，属于基础题．