Question

11．如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=$\sqrt{2}$，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B-AF-D的大小；
（2）在答题卡的图中画出四棱锥F-ABCD与四棱锥E-ABCD的公共部分，并计算此公共部分的体积．

Answer 1

分析 （1）以AC，BD的交点O为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABF和平面ADF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$，通过计算cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞得出二面角的大小；
（2）连接EB，EC，ED，设直线AF∩EC=H，则四棱锥F-ABCD与四棱锥E-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD，利用相似比求出H到平面ABCD的高HP，代入棱锥的体积公式即可得出公共部分的体积．

解答 解：（1）设AC，BD交于点O，以O为坐标原点，以OD、OC、平面ABCD的垂线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图1），
则A（0，-1，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），F（0，1，2）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，2），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，0）．
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x+y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，-1，1）．
同理，可求得平面ADF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{2}$，-1，1）．
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0$，
∴平面ABF⊥平面ADF，
∴二面角B-AF-D的大小等于$\frac{π}{2}$．
（2）连接EB，EC，ED，设直线AF∩EC=H（如图2），则四棱锥F-ABCD与四棱锥E-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD．
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．
∵EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，
∴平面ACFE⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．
∵$\frac{HP}{CF}+\frac{HP}{AE}=\frac{AP}{AC}+\frac{PC}{AC}=1$，∴$HP=\frac{2}{3}$．
又S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}AC•BD$=$\sqrt{2}$．
∴四棱锥H-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•HP$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．