精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1,过一面对角线AB1且与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.

(1)确定D点的位置,并证明你的结论.

(2)证明平面AB1D⊥平面AA1D.

(3)若AB=6,AA1=4,求直线BC1与平面AB1D的距离.

(4)若ABA1A=k,问是否存在实数k,使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.

思路解析:(1)线面平行,转化为线线平行,故可通过补形进行平移;(2)要证面面垂直,需证线面垂直;(3)要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离;(4)对探索性问题,不妨假设存在,然后求解或推理论证.

 

(1)证明:如上图,将正三棱柱ABCA1B1C1补成直平行六面体ABCEA1B1C1E1,从而有AE1BC1.

BC1∥面AB1E1.

∴面AB1E1为所求平行平面,此时面AB1E1A1C1交于点D.

A1B1C1E1为平行四边形,

DA1C1中点.

(2)证明:连结AD,由直平行六面体定义知AA1⊥面A1B1C1E1,

AA1B1D.

A1B1C1E1为菱形,∴B1DA1C1.

B1D⊥面AA1D.

B1DAB1D,

∴面AB1D⊥面AA1D.

(3)解法一:∵BC1∥平面AB1D,

∴只需求C1到平面AB1D的距离.

A1D=DC1,故只需求A1到面AB1D的距离即可.

由(2)知面AB1D⊥面AA1D,

∴过A1A1MAD,则A1M⊥平面AB1D.

A1M为所求.

A1D·AA1=A1M·AD,得A1M=.

解法二:由Vc1—AB1D=VaB1C1D,SB1C1D=,SADB1=,

,

h=,即C1到平面AB1D的距离为.

(4)解:如下图,过点D作DG⊥A1B1于点G,则DG⊥面A1B1BA.

GGHAB1于点H,连结DH,则DHAB1,

∴∠DHG为A1-AB1-D的平面角.

若∠DHG=45°,设AA1=a,则AB=ka,DG=ka.

AA1AB1=GHGB1,

GH=,GH=DG=ka.

k=2.

∴存在k=2,使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°.

巧解提示  本题以正三棱柱为载体,融合了线线、线面、面面的位置关系以及距离、角、体积等问题.一般地,利用三棱锥等积法寻找底面上的高,常将一个底面的顶点选在多面体的同一表面上.


练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,P为线段A1B上的动点.
(Ⅰ)试确定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高位5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为
13
13
cm.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都为a,P为A1B上的点.
(1)试确定
A1P
PB
的值,使得PC⊥AB;
(2)若
A1P
PB
=
2
3
,求二面角P-AC-B的大小;
(3)在(2)的条件下,求C1到平面PAC的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,D是AC的中点,C1DC=600,则异面直线AB1与C1D所成角的余弦值为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•重庆三模)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a,截面AB1C和A1BC1相交于DE,则三棱锥B-B1DE的体积为
3
48
a3
3
48
a3

查看答案和解析>>

同步练习册答案