(1)确定D点的位置,并证明你的结论.
(2)证明平面AB1D⊥平面AA1D.
(3)若AB=6,AA1=4,求直线BC1与平面AB1D的距离.
(4)若AB∶A1A=k,问是否存在实数k,使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
思路解析:(1)线面平行,转化为线线平行,故可通过补形进行平移;(2)要证面面垂直,需证线面垂直;(3)要求线面距离可通过线面平行转化为点面距离;(4)对探索性问题,不妨假设存在,然后求解或推理论证.
(1)证明:如上图,将正三棱柱ABC—A1B1C1补成直平行六面体ABCE—A1B1C1E1,从而有AE1∥BC1.
∴BC1∥面AB1E1.
∴面AB1E1为所求平行平面,此时面AB1E1与A1C1交于点D.
又A1B1C1E1为平行四边形,
∴D为A1C1中点.
(2)证明:连结AD,由直平行六面体定义知AA1⊥面A1B1C1E1,
∴AA1⊥B1D.
又A1B1C1E1为菱形,∴B1D⊥A1C1.
∴B1D⊥面AA1D.
又B1D面AB1D,
∴面AB1D⊥面AA1D.
(3)解法一:∵BC1∥平面AB1D,
∴只需求C1到平面AB1D的距离.
又A1D=DC1,故只需求A1到面AB1D的距离即可.
由(2)知面AB1D⊥面AA1D,
∴过A1作A1M⊥AD,则A1M⊥平面AB1D.
∴A1M为所求.
由A1D·AA1=A1M·AD,得A1M=.
解法二:由Vc1—AB1D=Va—B1C1D,S△B1C1D=,S△ADB1=
,
得,
∴h=,即C1到平面AB1D的距离为
.
(4)解:如下图,过点D作DG⊥A1B1于点G,则DG⊥面A1B1BA.
过G作GH⊥AB1于点H,连结DH,则DH⊥AB1,
∴∠DHG为A1-AB1-D的平面角.
若∠DHG=45°,设AA1=a,则AB=ka,DG=ka.
∵AA1∶AB1=GH∶GB1,
∴GH=,GH=DG=
ka.
∴k=2.
∴存在k=2,使平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小为45°.
巧解提示 本题以正三棱柱为载体,融合了线线、线面、面面的位置关系以及距离、角、体积等问题.一般地,利用三棱锥等积法寻找底面上的高,常将一个底面的顶点选在多面体的同一表面上.
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