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已知数列an的各项都为正数,a1=1,前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2).
(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)令bn=
1
anan+1
(n∈N*),数列bn的前n项和为Tn,若an+1≥λTn对任意正整数n都成立,求实数λ的取值范围.
分析:(I)有数列an的前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
(n≥2)⇒
Sn
-
Sn-1
=1
,先求出Sn,在求出数列an的通项公式;
(II)有(I)得到an又有bn=
1
anan+1
(n∈N*),得到数列bn的通项公式,再利用求和方法的其前n项和然后解不等式.
解答:解:(Ⅰ)∵Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1

(
Sn
+
Sn-1
)(
Sn
-
Sn-1
)=
Sn
+
Sn-1

又∵an>0,∴
Sn
+
Sn-1
>0
,∴
Sn
-
Sn-1
=1
(n≥2),
∴数列{
Sn
}
是等差数列,首项为
S1
=1
,公差为1,
Sn
=1+n-1=n
,∴Sn=n2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1;
又a1=1,∴数列an的通项公式为an=2n-1.
(Ⅱ)bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
++
1
2n-1
-
1
2n+1
)=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1

由an+1≥λTn2n+1≥λ×
n
2n+1
对任意正整数n都成立,
∴(2n+1)2≥λn,
λ≤
(2n+1)2
n
=
4n2+4n+1
n
=4n+4+
1
n

f(x)=4x+
1
x
(x≥1)
,则f′(x)=4-
1
x2
>0

∴f(x)在[1,+∞)上递增,
∴对任意正整数n,4n+
1
n
的最小值为5,∴λ≤9.
点评:此题考查了已知数列an的前n项和Sn,求数列的通项还考查了裂项相消求数列的和及不等式恒成立.
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