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    (13分)已知椭圆的长轴长为4，A,B,C是椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，，如图.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由.

    解析:（Ⅰ）由题意知：，，

    则椭圆方程为…………………………………………………………………2分  

    由椭圆的对称性知：，

    　又，即为等腰直角三角形，………………………4分

    　由得：，代入椭圆方程得：，

    　即椭圆方程为；………………………………………………………………6分

    （Ⅱ）假设总存在实数，使得，即，……………………………7分

    　由得，则，………………………………………8分

    　若设CP：，则CQ：，

    　由，………………9分

    　由得是方程的一个根，

    　由韦达定理得：，以代k得，…10分

    　故，故，       ………………13分

    　即总存在实数，使得        …………………………………………14分
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题13分）已知椭圆的方程是，点分别是椭圆的长轴的左、右端点，

    左焦点坐标为，且过点。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为圆,试问:过点能否引圆的切线，若能，求出这条切线与轴及圆的弦所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由。

     

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    科目：高中数学 来源：2014届重庆市高二12月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分13分）已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.

     

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    科目：高中数学 来源：2013届山东省高三第二次质量检测文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，经过点，,且抛物线的焦点为.

    (1) 求椭圆的方程；

    (2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点，当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程和圆的方程.

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年北京市东城区高三上学期期末考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题共13分）已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年陕西省五校高三第二次模拟测试理科数学 题型：解答题

    （本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

    （Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；

    （Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

     

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