Question

14．将函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}x$（x＞0）的所有极大值点按从小到大顺序依次排列，形成数列{x_n}，θ_n=x₁+x₂+…+x_n，则下列命题正确的是①②④⑤（写出你认为正确的所有命题的序号）
①函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$x在x=$\frac{π}{12}$处取得极大值；
②tanx${\;}_{n}=2-\sqrt{3}$；
③sinθ_n≤sinθ_n+1对于任意正整数n恒成立；
④存在正整数T，使得对于任意正整数n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立；
⑤n取所有的正整数，sinθ_n的最大值为1．

Answer 1

分析 f′（x）=2cos2x-$\sqrt{3}$，令f′（x）=0，利用单调性与极值的定义可得：x_n=$\frac{π}{12}$+（n-1）π（n∈N^*）．即可判断出①②正确；又θ_n=$\frac{nπ}{12}$+$\frac{n（n-1）π}{2}$，sinθ₁＞sinθ₂，即可判断出③的正误；由sin（θ_n+12）=-sinθ_n，可知：T=12使得对于任意正整数n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立．即可判断出④的正误．由sinθ₁₈=1，可知n取所有的正整数，sinθ_n的最大值为1．即可判断出⑤正误．

解答 解：f′（x）=2cos2x-$\sqrt{3}$，令f′（x）=0，利用单调性与极值的定义可得：x_n=$\frac{π}{12}$+（n-1）π（n∈N^*）．因此①②正确；
又θ_n=x₁+x₂+…+x_n=$\frac{nπ}{12}$+$\frac{n（n-1）π}{2}$，sinθ₁＞sinθ₂，因此③不正确；
由sin（θ_n+12）=$sin（\frac{（n+12）π}{12}+\frac{（n+12）（n+11）π}{2}）$=-$sin（\frac{nπ}{12}+\frac{n（n-1）π}{2}）$=-sinθ_n，可知：T=12使得对于任意正整数n，都有sinθ_n=sinθ_n+T=0成立．因此④正确．由sinθ₁₈=1，可知n取所有的正整数，sinθ_n的最大值为1．因此⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．