Question

已知A、B是圆x²+y²=4上满足条件

OA

⊥

OB

的两个点，其中O是坐标原点，分别过A、B作x轴的垂线段，交椭圆x²+4y²=4于A₁、B₁点，动点P满足

A1P

+2

PB1

=

0

（I）求动点P的轨迹方程
（II）设S₁和S₂分别表示△PAB和△B₁A₁A的面积，当点P在x轴的上方，点A在x轴的下方时，求S₁+S₂的最大值．

Answer 1

分析：（I）设P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求x，y的关系，结合向量的垂直关系及向量的坐标运算即得动点P的轨迹方程；
（II）根据（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），得出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式求得点P到直线AB的距离，最后利用基本不等式求出S₁+S₂的最大值即可．

解答：解：（I）设P（x，y），A₁（x₁，y₁），B₁（x₂，y₂），
则x₁²+4y₁²=4①x₂²+4y₂²=4②从而A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂）由于

OA

⊥

OB

，所以

OA

•

OB

=0，进而有x₁x₂+4y₁y₂=0③根据

A1P

+2

PB1

=

0

可得（x-x₁，y-y₁）+2（x₂-x，y₂-y）=（0，0）即

x-x1+2(x2-x)=0 y-y1+2(y2-y)=0

?

x=2x2-x1④ y=2y2-y1⑤

由④²+4×⑤²，并结合①②③得
x²+4y²=（2x₂-x₁）²+4（2y₂-y₁）²
=4（x₂²+4y₂²）+（x₁²+4y₁²）-4（x₁x₂+4y₁y₂）
=4×4+4-4×0=20
所以动点P的轨迹方程为x²+4y²=20
（II）根据（I）A（x₁，2y₁），B（x₂，2y₂），所以直线AB的方程为y-2y1=

2(y2-y1)

x2-x1

(x-x1)
即2（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+2y₁（x₂-x₁）-2x₁（y₂-y₁）=0
从而点P（2x_2′-x₁，2y₂-y₁）（2y₂-y₁＞0）到直线AB的距离为d=

|2(y2-y1)(2x2-x1)-(x2-x1)(2y2-y1)+2y1(x2-x1)-2x1(y2-y1)|

4(y2-y1)2+(x2-x1)2

=

|2(y2-y1)(2x2-2x1)+(x2-x1)(3y1-2y2)|

( x 2 1 +4 y 2 1 )+( x 2 2 +4 y 2 2 )-2(x1x2+4y1y2)

=

|(2y2-y1)(x2-x1)|

4+4-2×0

=

(2y2-y1)|x2-x1|

2 2

又因为|AB|=2

2

所以S=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

2

×

(2y2-y1)|x2-x1|

2 2

=

(2y2-y1)|x2-x1|

2

而S2=

1

2

|y1(x2-x1)|=-

1

2

y1|x2-x1|（∵y₁＜0）
所以S1+S2=

(2y2-y1)|x2-x1|

2

-

1

2

y1|x2-x1|=(y2-y1)|x2-x1|=|(x2-x1)(y2-y1)|
由①+②-2×③得(x2-x1)2+4(y2-y1)2=8(也可以由|AB|=

(x2-x1)2+(2y2-2y1)2

=2

2

而得到)
从而有8=（x₂-x₁）²+4（y₂-y₁）²≥2×|x₂-x₁|×2|y₂-y₁|=4|x₂-x₁||y₂-y₁|
当且仅当|x₂-x₁|=2|y₂-y₁|时取等号．
所以S₁+S₂=|（x₂-x₁）（y₂-y₁）|≤2，即S₁+S₂的最大值为2

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法，本题利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．