2. 已知:正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
(1)证明略 (2)
(1) 建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
B(2,2,0),E(2,,0),
F(,2,0),D1(0,0,4),
B1(2,2,4).
=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4),
∴·=0,·=0.
∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,
∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2) 由(1)知=(2,2,0),
=(-,,0),=(0,-,-4).
设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)
则n⊥,n⊥
即n·=(x,y,z)·(-,,0)=-x+y=0,
n·=(x,y,z)·(0,-,-4)=-y-4z=0,
令x=1,则y=1,z=-,∴n=(1,1,- )
∴D1到平面B1EF的距离
d===.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖南省衡阳八中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题
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