Question

【题目】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，AA1=2，点E1在棱C1D1上，且D1E1=3。

（I）在棱CD上确定一点E，使得直线EE1∥平面D1DB，并写出证明过程；

（II）求证：平面A1ACC1⊥平面D1DB；

（III）若动点F在正方形ABCD内，且AF=2，请说明点F的轨迹，试求E1F长度的最小值。

Answer 1

【答案】（1）DE=3，见解析（2）见解析(3)

【解析】

试题（1）在DC上取点E，使DE=3,根据平几知识可得DEE1D1为平行四边形，即得EE1∥DD1.再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据长方体性质得AA1⊥DB.再结合正方形性质得AC⊥DB，根据线面垂直判定定理得DB⊥平面A1ACC1.，最后根据面面垂直判定定理得结论，(3)由圆的定义可得点F的轨迹，注意轨迹范围，根据勾股定理得E1F取最小值时EF取最小值.再根据圆的性质求最值.

试题解析：证明：（I）在DC上取点E，使DE=3，此时直线EE1∥平面D1DB.

证明如下：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DE∥D1E1，且DE=D1E1，

所以四边形DEE1D1为平行四边形.

所以EE1∥DD1.

又DD1平面D1DB，EE1平面D1DB，

所以直线EE1∥平面D1DB.

（Ⅱ）在正方形ABCD中，AC⊥DB，

又AA1⊥底面ABCD，DB底面ABCD，

所以AA1⊥DB.

又AA1AC=A，

所以DB⊥平面A1ACC1.

又DB平面D1DB，

所以平面A1ACC1⊥平面D1DB.

（III）因为动点F在正方形内，且AF=2，

所以点F的轨迹为以A为圆心，2为半径，在正方形ABCD内的个圆周。

由题意知，直线EE1⊥平面ABCD，所以EE1⊥EF，故E1F取最小值，即EF取最小值.

所以当A，F，E三点共线时，EF长度最小，即E1F长度最小，

此时AE=，

E1F=.

所以E1F的最小值为.