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我们知道:两个互为反函数的函数y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x成轴对称,利这一性质,若x1和x2分别是2x+x+a=0和log2x+x+a=0的两根,则x1+x2的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍,即x1+x2=-a; 由函数y=x3与函数y=
3x
互为反函数,我们可以得出:若方程x3+x-3=0的根为x1,方程(x-3)3+x=0的根为x2,则x1+x2=
3
3
分析:由已知中,若x1和x2分别是2x+x+a=0和log2x+x+a=0的两根,则x1+x2的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍,即x1+x2=-a;我们经过类比推理可得函数y=x3与函数y=
3x
互为反函数,方程x3+x-3=0的根为x1,方程(x-3)3+x=0的根为x2,进而得到答案.
解答:解:∵x1和x2分别是2x+x+a=0和log2x+x+a=0的两根,
则x1+x2的值为直线y=x与直线y=-x-a的交点的横坐标的2倍,即x1+x2=-a;
由此类比推理
∵方程x3+x-3=0的根为x1,方程(x-3)3+x=0的根为x2
∴x2
3x
+x-3=0
的根,
则x1+x2的值为直线y=x与直线y=-x+3的交点的横坐标的2倍
由于直线y=x与直线y=-x+3的交点的横坐标为
3
2

故x1+x2=3
故答案为:3
点评:本题考查的知识点是类比推理,要先找出两类事物之间的相似性或一致性(如本题中已知和未知两个函数均互为反函数),再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)
练习册系列答案
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3x
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