Question

设函数f（x）=x²+|2x-a|，（x∈R，a为实数）
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）；
（3）g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）为偶函数，满足f（-x）=f（x），构造关于a的方程，解方程可得实数a的值；
（2）利用零点分段法，可将函数f（x）的解析式化为分段函数，结合二次函数的性质，可求出g（a）的解析式；
（3）根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上的最小值，比较后，可得g（a）的最小值

解答：解：（1）∵f（x）=x²+|2x-a|，
若f（x）为偶函数，
则f（-x）=x²+|-2x-a|=f（x）
即|2x-a|=|-2x-a|=|2x+a|
故a=0
（2）∵f（x）=x²+|2x-a|=

x2+2x-a，x≥ a 2 x2-2x+a，x＜ a 2

当a＜-2时，则当x=-1时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（-1）=-a-1
当-2≤a≤2时，则当x=

a

2

时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（

a

2

）=

a2

4

当a＞2时，则当x=1时，函数f（x）取最小值，即g（a）=f（1）=a-1
∴g（a）=

-a-1，a＜-2 a2 4 ，-2≤a≤2 a-1，a＞2

（3）由（2）得
当a＜-2时，g（a）＞1
当-2≤a≤2时，0≤g（a）≤1
当a＞2时，g（a）＞1
综上所述函数g（a）最小值为0

点评：本题考查的知识点是分段函数的值域，函数的奇偶性的定义，二次函数的图象和性质，难度中档．