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3.已知向量$\overrightarrow{a}$=($\frac{1}{sinx}$,$\frac{-1}{sinx}$),$\overrightarrow{b}$=(2,cos2x-sin2x).
(1)试判断$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$能否平行?请说明理由.
(2)若x∈(0,$\frac{π}{3}$],求函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值.

分析 (1)判断出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行,利用向量平行的坐标运算列出方程,由二倍角的余弦公式化简后,由余弦函数的值域进行判断;
(2)由向量的数量积坐标运算、二倍角的余弦公式以及变形化简f(x),由正弦函数的性质和f(x)的单调性求出f(x)的最小值.

解答 解:(1)$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行,原因如下:
若向量$\overrightarrow{a}$=($\frac{1}{sinx}$,$\frac{-1}{sinx}$),$\overrightarrow{b}$=(2,cos2x-sin2x)平行,
则$\frac{1}{sinx}×(co{s}^{2}x-si{n}^{2}x)-(\frac{-1}{sinx}×2)$=0,
$\frac{1}{sinx}(cos2x+2)=0$,
∵$\frac{1}{sinx}≠0$,∴cos2x+2=0,即cos2x=-2不成立,
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行;
(2)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{sinx}-\frac{1}{sinx}(co{s}^{2}x-si{n}^{2}x)$
=$\frac{1}{sinx}•(2-cos2x)$=$\frac{1}{sinx}•(3-2si{n}^{2}x)$
=$\frac{3}{sinx}-2sinx$,
由x∈(0,$\frac{π}{3}$]得,sinx∈(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],
∵f(x)=$\frac{3}{sinx}-2sinx$随着sinx的增大而减小,
∴当sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时,f(x)取到最小值是$\sqrt{3}$.

点评 本题考查正弦函数的性质,向量平行、向量数量积的坐标运算,二倍角余弦公式以及变形,考查化简、变形能力.

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