Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{sinx}$，$\frac{-1}{sinx}$），$\overrightarrow{b}$=（2，cos²x-sin²x）．
（1）试判断$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$能否平行？请说明理由．
（2）若x∈（0，$\frac{π}{3}$]，求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）判断出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行，利用向量平行的坐标运算列出方程，由二倍角的余弦公式化简后，由余弦函数的值域进行判断；
（2）由向量的数量积坐标运算、二倍角的余弦公式以及变形化简f（x），由正弦函数的性质和f（x）的单调性求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行，原因如下：
若向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{sinx}$，$\frac{-1}{sinx}$），$\overrightarrow{b}$=（2，cos²x-sin²x）平行，
则$\frac{1}{sinx}×（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）-（\frac{-1}{sinx}×2）$=0，
$\frac{1}{sinx}（cos2x+2）=0$，
∵$\frac{1}{sinx}≠0$，∴cos2x+2=0，即cos2x=-2不成立，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不能平行；
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{sinx}-\frac{1}{sinx}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）$
=$\frac{1}{sinx}•（2-cos2x）$=$\frac{1}{sinx}•（3-2si{n}^{2}x）$
=$\frac{3}{sinx}-2sinx$，
由x∈（0，$\frac{π}{3}$]得，sinx∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∵f（x）=$\frac{3}{sinx}-2sinx$随着sinx的增大而减小，
∴当sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f（x）取到最小值是$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦函数的性质，向量平行、向量数量积的坐标运算，二倍角余弦公式以及变形，考查化简、变形能力．