分析 由条件,根据周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得f(x)=Asin($\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$).结合函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象、再利用正弦函的性质,得出结论.
解答 解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,可得周期T=$\frac{2π}{ω}$=2($\frac{7π}{4}$-$\frac{π}{4}$)=3π,∴ω=$\frac{2}{3}$,
再根据五点法作图可得$\frac{2}{3}$•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$,求得φ=$\frac{π}{3}$,故f(x)=Asin($\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$).
(1)f(x)的最小正周期为 3π;
(2)令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ,k∈Z,求得可得f(x)=0的x的取值集合为{x|x=-$\frac{π}{2}$+k•$\frac{3π}{2}$,k∈Z};
(3)结合图象,∵$\frac{\frac{π}{4}+\frac{7π}{4}}{2}$=π,故使f(x)<0的x的取值集合为{x|π+k•3π<x<π+$\frac{3π}{2}$+k•3π,k∈Z};
(4)结合f(x)=Asin($\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$),令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,求得k•3π-$\frac{5π}{4}$≤x≤k•3π+$\frac{π}{4}$,
可得f(x)的单调递增区间为[k•3π-$\frac{5π}{4}$,k•3π+$\frac{π}{4}$],k∈Z.
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,求得k•3π+$\frac{π}{4}$≤x≤k•3π+$\frac{7π}{4}$,
同理求得函数f(x)的递减区间为[k•3π+$\frac{π}{4}$,k•3π+$\frac{7π}{4}$],k∈Z.
(5)令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得x=k•3π-$\frac{5π}{4}$,故使f(x)取最小值的x的集合为{x|x=k•3π-$\frac{5π}{4}$,k∈Z};
(6)令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得x=k•$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$,可得f(x)的图象的对称轴方程为x=k•$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{4}$,k∈Z;
(7)令$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$=kπ,k∈Z,求得x=$\frac{3kπ}{2}$-$\frac{π}{2}$,故f(x)的图象的对称中心为(k•$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{2}$,0),k∈Z.
点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的图象和性质,属于基础题.
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