Question

【题目】如图，，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，链接M，N两地之间的铁路是圆心在上的一段圆弧，若点M在O正北方向，且，点N到，距离分别为4km和5km．

建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；

若该城市的某中学拟在O点正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距离点O的最近距离．注：校址视为一个点

Answer 1

【答案】(1) (2)距O最近6km的地方．

【解析】

建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程．

据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题.

解：分别以、为x轴，y轴建立如图坐标系．

据题意得，，，

MN中点为，

线段MN的垂直平分线方程为：，

故圆心A的坐标为，

半径．

弧MN的方程为：

设校址选在，

对恒成立．

即，对恒成立

整理得：，对恒成立

令．

，，

在上为减函数．，

解得，

即校址选在距O最近6km的地方．