Question

设α为常数，求证：y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）．表示平行于x轴的直线（α≠kπ，k∈Z）．

Answer 1

分析：要想证明y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）．表示平行于x轴的直线（α≠kπ，k∈Z）．且又有设α为常数，则证明的方向是将函数的解析式进行化简，化简成一个不含x的常数．

解答：证明：y=f（x）=cos²x+cos²（x+α）-2cosαcosxcos（x+α）
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）cos[（x+α）-x]
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）[cos（x+α）cosx+sin（x+α）sinx]
=cos²x+cos²（x+α）-2cosxcos（x+α）cos（x+α）cosx-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=cos²x+cos²（x+α）-2cos²xcos²（x+α）-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=[cos²x-cos²xcos²（x+α）]+[cos²（x+α）-cos²xcos²（x+α）]-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=cos²xsin²（x+α）+cos²（x+α）sin²x-2cosxcos（x+α）sin（x+α）sinx
=[cosxsin（x+α）-cos（x+α）sinx]²
=sin²[（x+α）-x]=sin²α
又∵α为常数
∴y=f（x）表示平行于x轴的直线

点评：本题的证明过程比较复杂，为了得到证明方向，我们可以先代入特殊值，如x=0，先来判断结果是一个什么样的常数，再逆推一下寻找解题的思路．