Question

（2006•宝山区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁与底面成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点．求异面直线EF与A₁C所成角的大小．

Answer 1

分析：连结A₁B可得A₁B∥EF，可得∠BA₁C即为异面直线EF与A₁C所成的角．根据AC₁与底面成60°角，结合AC=2算出得AC₁=4．利用线面垂直的判定与性质，证出BC⊥平面AA₁C₁C，得到RtA₁BC中tan∠BA₁C=

1

2

，即可得出异面直线EF与A₁C所成角的大小．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC
∴∠C₁AC就是直线AC₁与底面ABC所成角，
可得Rt△C₁AC中，∠C₁AC=60°，结合AC=2得AC₁=4，…（3分）
连结A₁B，则EF是△A₁AB的中位线
∴A₁B∥EF，可得∠BA₁C即为异面直线EF与A₁C所成的角，…（6分）
又∵∠ACB=90°，得BC⊥AC
∴结合BC⊥A₁A，且AC∩A₁A=A，可得BC⊥平面AA₁C₁C…（9分）
∵A₁C?平面AA₁C₁C，∴BC⊥A₁C
因此，RtA₁BC中，得tan∠BA1C=

BC

A1C

=

1

2

，即∠BA1C=arctan

1

2

∴异面直线EF与A₁C所成角的大小为arctan

1

2

．…（12分）

点评：本题在特殊的直棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．