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    投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的20%．
    （1）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求；
    （2）公司预设的一个奖励方案的函数模型：f（x）=
    x
    150
    +2试分析这个函数模型是否符合公司要求；
    （3）（理）求证：函数模型g（x）=
    		ax-1
    -1，a∈[
    1
    2
    ，1]    符合公司的一个奖励方案．
    （文）假设下面这个函数模型是符合公司的一个奖励方案：g(x)=
    		ax-1
    -1    （a＞0），求实数a满足的条件．
    分析：（1）根据题意可知奖励方案描述的是函数的单调性和最值，从而运用数学语言描述出即可；
    （2）对于函数模型f（x）=
    x
    150
    +2，研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合（1）中的基本要求；
    （3）（理）①②的验证很显然，③利用分析法证明；
    （文）x∈[10，1000]时，g（x）=
    		ax-1
    -1有意义，可得a≥
    1
    10
    ，由g（x）min=
    		10a-1
    -1    ≥1成立，可得a≥
    1
    2
    恒成立，设
    		ax-1
    -1≤
    x
    5
    恒成立，分离参数可得a≤
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    恒成立，根据y=
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    在x∈[10，1000]时，单调递增，即可得出结论．
    解答：（1）解：由题意知，公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求是：
    当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≥1恒成立；③f(x)≤
    x
    5
    恒成立，
    （2）解：对于函数模型f（x）=
    x
    150
    +2，
    当x∈[10，1000]时，f（x）是单调递增函数，则f（x）≥1显然恒成立，
    若函数f（x）=
    x
    150
    +2≤
    x
    5
    在[10，1000]上恒成立，即29x≥300恒成立，
    又∵（29x）min=290，
    ∴f（x）=
    x
    150
    +2不恒成立，
    综上所述，函数模型f（x）=
    x
    150
    +2满足基本要求①②，但是不满足③，
    故函数模型f（x）=
    x
    150
    +2不符合公司要求；
    （3）（理）证明：函数模型g（x）=
    		ax-1
    -1，a∈[
    1
    2
    ，1]    ，x∈[10，1000]时，满足增函数，g（x）min=1成立；
    欲证x∈[10，1000]时，
    		ax-1
    -1≤
    x
    5
    恒成立，
    只需证明x∈[10，1000]时，ax-1≤(
    x
    5
    +1)2    恒成立，
    只需证明x∈[10，1000]时，a≤
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    恒成立，
    ∵y=
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    在x∈[10，1000]时，单调递增，
    ∴x=10时，函数取得最小值1，
    ∵a∈[
    1
    2
    ，1]    ，
    ∴x∈[10，1000]时，a≤
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    恒成立，
    ∴：函数模型g（x）=
    		ax-1
    -1，a∈[
    1
    2
    ，1]    符合公司的一个奖励方案．
    （文）x∈[10，1000]时，g（x）=
    		ax-1
    -1有意义，∴a≥
    1
    10
    ，∴g（x）min=
    		10a-1
    -1    ≥1成立，
    ∴a≥
    1
    2
    恒成立．
    设
    		ax-1
    -1≤
    x
    5
    恒成立，则ax-1≤(
    x
    5
    +1)2    恒成立，即a≤
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    恒成立，
    ∵y=
    x
    25
    +
    2
    x
    +
    2
    5
    在x∈[10，1000]时，单调递增，
    ∴x=10时，函数取得最小值1，
    ∴a≤1，
    ∴a∈[
    1
    2
    ，1]    ．
    点评：本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
    （1）若建立函数y=f（x）模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f（x）模型的基本要求，并分析函数y=
    x
    150
    +2    是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；
    （2）若该公司采用模型函数y=
    10x-3a
    x+2
    作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得10～1000万元的投资收益．现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%．
    （Ⅰ）设奖励方案的函数模型为f（x），试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f（x）的基本要求．
    （Ⅱ）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
         ①f(x)=
    x150
    +2    ；     ②f（x）=4lgx-2．
         试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年山东省文登市高三上学期期中统考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.

    （1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.

    （2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

    ①；     ②

    试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

     

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年山东省文登市高三上学期期中统考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    新晨投资公司拟投资开发某项新产品，市场评估能获得万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于万元，同时不超过投资收益的.

    （1）设奖励方案的函数模型为，试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型的基本要求.

    （2）下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：

    ①；     ②

    试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.

     

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