Question

3．解答下列问题：
（1）已知点P（-4t，t）在角α的终边上，且α∈（0，π），求$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$的值；
（2）设等比数列{a_n}的a₃+a₅=30，且a₁a₇=81，求通项a_n．

Answer 1

分析 （1）由题意，t＞0，则sinα=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，cosα=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$，tanα=-$\frac{1}{4}$，即可求$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$的值；
（2）设等比数列{a_n}的公比是q，由等比数列的性质得a₁a₇=a₃a₅，结合条件求出a₃、a₅的值，由等比数列的通项公式求出q²、a₁，再分别求出a_n．

解答 解：（1）由题意，t＞0，则sinα=$\frac{1}{\sqrt{17}}$，cosα=-$\frac{4}{\sqrt{17}}$，tanα=-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{sinα（1-ta{n}^{2}α）}{\frac{1}{cosα}}$=$\frac{\frac{1}{\sqrt{17}}（1-\frac{1}{16}）}{-\frac{\sqrt{17}}{4}}$=-$\frac{15}{68}$；
（2）设等比数列{a_n}的公比是q，
由等比数列的性质得，a₁a₇=a₃a₅=81，
因为a₃+a₅=30，所以a₃、a₅是方程x²-30x+81=0的两个根，
解得a₃=3、a₅=27或a₃=27、a₅=3，
所以q²=9或$\frac{1}{9}$，解得q=±3或±$\frac{1}{3}$，
由a₃=a₁q²=3得，a₁=$\frac{1}{3}$或27，
所以a_n=3^n-2或a_n=（-1）^n-1•3^n-2，或a_n=$\frac{1}{{3}^{n-4}}$或a_n=（-1）^n-1•$\frac{1}{{3}^{n-4}}$．

点评 本题考查同角三角函数的关系，考查等比数列的通项公式、性质的应用，以及分类讨论思想，化简、计算能力．