Question

数列{a_n}满足a₁=2，且an+1=2-

1

an

．
（I）证明：数列{

1

an-1

}为等差数列；
（II）若bn=

n

2n

•an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据an+1=2-

1

an

，可得

1

an+1-1

-

1

an-1

=1，从而可得{

1

an-1

}是以1为首项，公差为1的等差数列；
（II）先确定数列{a_n}的通项，进而可得bn=

n

2n

×an=

n+1

2n

，利用错位相减法，可求数列的和．

解答：（I）证明：∵an+1=2-

1

an

∴an+1-1=1-

1

an

∴

an+1-1= an-1 an

∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=1
∴{

1

an-1

}是以1为首项，公差为1的等差数列．
（II）解：由上知：

1

an-1

=1+(n-1)×1=n，∴an=

n+1

n

，n∈N*
∴bn=

n

2n

×an=

n+1

2n

S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1
错位相减得：

1

2

S_n=2×(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
∴Sn=3-(n+3)×(

1

2

)n

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的求和，解题的关键是构造新数列，利用错位相减法求数列的和．