Question

【题目】已知函数f（x）=4cosxsin（x+ ）+m（m∈R），当x∈[0， ]时，f（x）的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，已知f（C）=1，AC=4，延长AB至D，使BC=BD，且AD=5，求△ACD的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+ ）+m =4cosx（sinxcos +cosxsin ）+m
= sin2x+2cos2x+m
= sin2x+cos2x+1+m
=2sin（2x+ ）+m+1．
∵x∈[0， ]，2x+ ∈[ ， ]，可得：2sin（2x+ ）min=﹣1，
∴f（x）=﹣1=﹣1+m+1，解得：m=﹣1．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：f（x）=2sin（2x+ ），
∴2sin（2C+ ）=1，
∵C∈（0，π），可得：2C+ ∈（ ， ），
∴2C+ = ，解得：C= ，
如图，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，
∵在△ACB中，由余弦定理可得：cosC= = ，解得x= ，
∴cosA= = ，可得：sinA= = ，
∴S△ACD= ACADsinA= = ．

【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+ ）+m+1．由x∈[0， ]，利用正弦函数的性质可求2sin（2x+ ）min=﹣1，结合已知可求m的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2sin（2C+ ）=1，结合范围C∈（0，π），可求C= ，设BD=BC=x，则AB=5﹣x，在△ACB中，由余弦定理可解得x，进而由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式即可计算得解．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．