如图,已知几何体ABC-DEF中,△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形,四边形ABEF为矩形,且CD=AF+2,CD//AF,O为AB中点.
(1)求证:AB⊥平面DCO
(2)若M为CD中点,AF=x,则当x取何值时,使AM与平面ABEF所成角为45°?
试求相应的x值的.
(3)求该几何体在(2)的条件下的体积.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,O为AB中点,故AB⊥CO,
又CD//AF,在矩形ABEF中AB⊥AF,所以AB⊥CD,
由CD∩CO=C,证得AB⊥平面DCO
(2)设I为EF中点,连接OI,依题意,四边形
OIDC为等腰梯形;
在梯形OIDC中过O作OH⊥CD垂足为H,过M作
MG//OG,则MG⊥OI,由(1)可知:面OIDC⊥面ABEF
因为OIDC∩面ABEF=OI,所以MG⊥面ABEF,
连接AC,则∠MAG等于直线AM与平面ABEF所成角
因为在正三角形ABC中,AO=1,CO=,在等腰梯形OIDC中CH=1,OG=0.5x;
所以在直角三角形OCH中,OH=,即MG=
;
在直角三角形AOG z中,AG=
由tan∠MAG=
(3)连接AH、BH,由(1)(2)可知,
该几何体的体积等于两个以三角形ABH为底面,
CH为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH为底面,AF为高的三棱柱的体积之和.
解二:建坐标系(略)
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(08年长沙一中一模理)如图,已知几何体中,
及
都是边长为2的等边三角形,四边形
为矩形,且
,
,O为AB中点.
(1)求证:平面
;
(2)若M为CD中点,,则当
取何值时,使AM与平面ABEF所成角为
?试求相应的
值.
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