Question

已知点P是双曲线C：

x2

8

-

y2

4

=1上的动点，F₁，F₂分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点，则

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范围是（　　）

• A、[0，6]
• B、（2，

  6

  ]
• C、（

  1

  2

  ，

  6

  2

  ]
• D、[0，

  6

  2

  ]

Answer 1

分析：设P（x，y） 则y²=

x2

2

-4，e=

6

2

，由焦半径公式能够得出|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，代入所求的式子并化简得到

6

3 2 - 4 x2

，再由双曲线中x²≥8，求出范围即可．

解答：解：设P（x，y） x＞0，由焦半径公式|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，
则

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

ex+a+ex-a

x2+y2

   （y²=

x2

2

-4，e=

6

2

），
则原式=

2ex

x2+ x2 2 -4

=

6 x

3 2 x2-4

=

6

3 2 -  4 x2

，又因为双曲线中x²≥8．
所以

6

3 2 - 4 x2

∈（2，

6

]．
同理当x＜0时，|PF₁|=a-ex，|PF₂|=-ex-a，
仍可推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

6

3 2 - 4 x2

∈（2，

6

]．
即推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范围为（2，

6

]．

点评：本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a是解题的关键，要注意分x＞0和x＜0两种情况作答，属于中档题．