【题目】已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得PMQ;
(2)若PQ,求b的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)(,+∞)
【解析】
(1)由于集合Q={-1,1,-4},当b=4时,集合P=,再由 PMQ可得,M是Q的非空子集,从而得到M.
(2)当P=,△=9-4b<0时,有.当P≠,方程x2-3x+b=0有实数根,且实数根是-1,1,-4中的数,把x=-1,1,-4代入检验,由此得到实数b的取值范围.
解:(1)∵集合Q={x|(x+1)(x2+3x-4)=0}={x|(x+1)(x+4)(x-1)=0}={-1,1,-4},
当b=4时,集合P=,再由P MQ可得,M是Q的非空子集.
共有23-1=7 个,分别为{-1}、{1}、{-4}、{-1,1}、{-1,4}、{1,4}、{-1,1,-4}.
(2)∵PQ,对于方程x2-3x+b=0,
当P=,△=9-4b<0时,有b>,
△=9-4b≥0时,P≠,方程x2-3x+b=0有实数根,且实数根是-1,1,-4中的数.
若-1是方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=-4,此时P={-1,4},不满足PQ,故舍去.
若1是方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=2,此时P={1,2},不满足PQ,故舍去.
若-4是方程x2-3x+b=0的实数根,则有b=2,此时P={-1,4},不满足PQ,故舍去.
综上可得,实数b的取值范围为(,+∞).
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【题目】已知椭圆C的焦点坐标是F1(﹣1,0)、F2(1,0),过点F2垂直于长轴的直线l交椭圆C于B、D两点,且|BD|=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过定点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于不同两点M,N,试判断:在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数m的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn , a1= 且13a2=3S3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=nan , 求数列{bn}的前项n和Tn .
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【题目】如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线 的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦, 为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.
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【题目】甲、乙两个班级共有105名学生,某次数学考试按照“大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀”的原则统计成绩后,得到如下列联表。
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 | 105 |
已知从甲、乙两个班级中随机抽取1名学生,其成绩为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)能否有把握认为成绩与班级有关系?
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【题目】已知点 在椭圆 上,过椭圆C的右焦点F且垂直于椭圆长轴的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若MN是过椭圆C的右焦点F的动弦(非长轴),点T为椭圆C的左顶点,记直线TM,TN的斜率分别为k1 , k2 . 问k1k2是否为定值?若为定值,请求出定值;若不为定值,请说明理由.
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【题目】响应“文化强国建设”号召,某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求,随机抽取市民200人做调查,统计显示,男士喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女士喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
(2)为引导市民积极参与阅读,有关部门牵头举办市读书交流会,从这200人中筛选出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会,记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,则下列结论中正确的是__________.
①平面;
②平面平面;
③三棱锥的体积为定值;
④存在某个位置使得异面直线与成角.
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