Question

【题目】已知 =（sinx，cosx）， =（sinx，k）， =（﹣2cosx，sinx﹣k）．
（1）当x∈[0， ]时，求| + |的取值范围；
（2）若g（x）=（ + ） ，求当k为何值时，g（x）的最小值为﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（sinx﹣2cosx，sinx），

| |2=（sinx﹣2cosx，sinx）2

=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x

=2cos2x﹣4sinxcosx+2

=cos2x﹣2sin2x+3

= cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，

又∵x∈[0， ]，

∴ ，

∴ 在 上单调递减，

∴| cos（2x+φ）|2∈[1，4]，

∴| + |∈[1，2]．

（2）解： =（2sinx，cosx+k），

g（x）=（ ）

=﹣4sinxcosx+（cosx+k）（sinx﹣k）

=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2

令t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），

则t∈[﹣ ， ]，且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx，

所以 ．

所以g（x）可化为 ，

对称轴 ．

①当 ，即 时， ，

由 ，得 ，

所以 ．

因为 ，

所以此时无解．

②当 ，即 时， ．

由﹣ ﹣ =﹣ ，得k=0∈[﹣3 ，3 ]．

③当﹣ ，即k＜﹣3 时，

g（x）min=h（ ）=﹣k2+ k+ ，

由﹣k2+ k+ =﹣ ，得k2﹣ k﹣3=0，

所以k= ．

因为k ，所以此时无解．

综上所述，当k=0时，g（x）的最小值为﹣ ．

【解析】（1）由已知利用平面向量的坐标运算可得 =（sinx﹣2cosx，sinx），利用三角函数恒等变换的应用可得| |2= cos（2x+φ）+3，其中，tanφ=2，又x∈[0， ]，可求 ，利用余弦函数的单调性即可得解| + |的取值范围；（2）利用平面向量数量积的运算可得g（x）=﹣3sinxcosx+k（sinx﹣cosx）﹣k2 ， 令t=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），则g（x）可化为 ，对称轴 ．利用二次函数的图象和性质分类讨论即可得解．