Question

（2012•西城区二模）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是

3

5

，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为-15，0，15，30．
P(X=-15)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

；    P(X=0)=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

；P(X=15)=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

；    P(X=30)=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

．    …（4分）
乙得分的分布列如下：

X	-15	0	15	30
P	1 12	5 12	5 12	1 12

EX=

1

12

×(-15)+

5

12

×0+

5

12

×15+

1

12

×30=

15

2

．         …（6分）
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．
则 P(A)=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)+(

3

5

)3=

81

125

，…（8分）
P(B)=

5

12

+

1

12

=

1

2

．                              …（10分）
故甲乙两人至少有一人入选的概率P=1-P(

.

A

•

.

B

)=1-

44

125

×

1

2

=

103

125

． …（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键．