Question

已知数列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，an+1=

an 2 ，an为偶数 an+1 2 ，an为奇数

，若a₁=2013，则a₂₀₁₃=

1

；若{a_n}中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有

8

个．

Answer 1

分析：由a₁=2013，an+1=

an 2 ，an为偶数 an+1 2 ，an为奇数

，足够多的次数后，项的值永远为1，用逆推法求解；m=1时，{a_n}中只有1个不同的数字，各项为1；m=2时，{a_n}中只有2个不同的数字；m=3，或m=4 时，{a_n}中只有3个不同的数字；m=5或m=6，或m=7，m=8时，{a_n}中只有4个不同的数字，当m=9到16时，{a_n}中有且只有5个不同的数字；当n≥17时，{a_n}中有6个或6个以上不同的数字．

解答：解：①∵a₁=2013，an+1=

an 2 ，an为偶数 an+1 2 ，an为奇数

，
∴a2=

2013+1

2

=1007，a3=

1007+1

2

=504，a4=

504

2

=252，
a5=

252

2

=126，a6=

126

2

=63，a7=

63+1

2

=32，a8=

32

2

=16，
a₉=

16

2

=8，a₁₀=

8

2

=4，a₁₁=

4

2

=2，a₁₂=

2

2

=1，a₁₃=

1+1

2

=1，
∴当n≥12时，a_n=1．
∴a₂₀₁₃=1．
②当m=1时，a₁=1，a2=

1+1

2

=1，…，a_n=1，
则{a_n}中只有1个不同的数字1，不成立，故m≠1；
当m=2时，a₁=2，a2=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥2），
则{a_n}中只有2个不同的数字2和1，不成立，故m≠2；
当m=3时，a₁=3，a₂=

3+1

2

=2，a3=

2

2

=1，…a_n=1（n≥3），
则{a_n}中只有3个不同的数字1，2，3，不成立，故m≠3；
当m=4时，a₁=4，a₂=

4

2

=2，a3=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥3），
则{a_n}中只有3个不同的数字1，2，4，不成立，故m≠4；
当m=5时，a₁=5，a₂=

5+1

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
则{a_n}中有4个不同的数字1，2，3，5，不成立，故m≠5；
当m=6时，a₁=6，a₂=

6

2

=3，a3=

3+1

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
则{a_n}中有4个不同的数字1，2，3，6，不成立，故m≠6；
当m=7时，a₁=7，a₂=

7+1

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
则{a_n}中有4个不同的数字1，2，4，7，不成立，故m≠7；
当m=8时，a₁=8，a₂=

8

2

=4，a₃=

4

2

=2，a4=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥4），
则{a_n}中有4个不同的数字1，2，4，8，不成立，故m≠8；
当m=9时，a₁=9，a₂=

9+1

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，3，5，9，成立，故m=9；
当m=10时，a₁=10，a₂=

10

2

=5，a₃=

5+1

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，3，5，10，成立，故m=10；
当m=11时，a₁=11，a₂=

11+1

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，3，6，11，成立，故m=11；
当m=12时，a₁=12，a₂=

12

2

=6，a₃=

6

2

=3，a₄=

3+1

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，3，6，12，成立，故m=12；
当m=13时，a₁=13，a₂=

13+1

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，4，7，13，成立，故m=13；
当m=14时，a₁=14，a₂=

14

2

=7，a₃=

7+1

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，4，7，14，成立，故m=14；
当m=15时，a₁=15，a₂=

15+1

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，4，8，15，成立，故m=15；
当m=16时，a₁=16，a₂=

16

2

=8，a₃=

8

2

=4，a₄=

4

2

=2，a₅=

2

2

=1，…，a_n=1（n≥5），
则{a_n}中有5个不同的数字1，2，4，8，16，成立，故m=16；
当m=17时，a₁=17，a₂=

17+1

2

=9，a₃=

9+1

2

=5，a₄=

5+1

2

=3，a₅=

3+1

2

=2，a6=

2

2

=1…，a_n=1（n≥6），
则{a_n}中有6个不同的数字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；
当n≥17时，{a_n}中有6个或6个以上不同的数字．
∴m的不同取值共有8个．
故答案为：1，8．

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．计算过程较繁琐，要细心求解，注意不要遗漏．