Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求y=f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）证明：y=f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的定义，可得f（0）=0，当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，由已知解析式，化简整理结合奇函数的定义即可得到所求；
（2）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： （1）解：y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
当-1＜x＜0时，则0＜-x＜1，则有f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
又f（-x）=-f（x），
则f（x）=-

2x

4x+1

，（-1＜x＜0），
则y=f（x）在（-1，1）上的解析式为f（x）=

- 2x 4x+1 ，-1＜x＜0 0，x=0 2x 4x+1 ，0＜x＜1

；
（2）证明：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=

2m

4m+1

-

2n

4n+1

=

2m+2n+2m-22m+n-2n

(4m+1)(4n+1)

=

(2n-2m)(2m+n-1)

(4m+1)(4n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，则2^m＜2ⁿ，2^m+n＞1，即有2ⁿ-2^m＞0，2^m+n-1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n）．
则y=f（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明以及运用，考查函数解析式的求法，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．