Question

（2012•吉林二模）已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=

3

AB，若四面体P-ABC的体积为

3

2

，则该球的体积为（　　）

• A．

  3

  π
• B．2π
• C．2

  2

  π
• D．4

  3

  π

Answer 1

分析：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，故AC=

3

R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．

解答：解：设该球的半径为R，
则AB=2R，2AC=

3

AB=

3

×2R，
∴AC=

3

R，
由于AB是球的直径，
所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC²=AB²-AC²=R²，
所以Rt△ABC面积S=

1

2

×BC×AC=

3

2

R2，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P-ABC的体积为

3

2

，
∴V_P-ABC=

1

3

×R×

3

2

×R2=

3

2

，
即

3

R³=9，R³=3

3

，
所以：球的体积V_球=

4

3

×πR³=

4

3

×π×3

3

=4

3

π．
故选D．

点评：本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．