Question

已知函数f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设g（x）=x（

1

2x+1

-

1

2

），求证：对于任意x≠0，都有g（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，，再检验f（-x）与f（x）的关系，从而下结论；
（2）易得x＞0时，g(x)=

1-2x

2(2x+1)

•x＜0，根据函数是偶函数，问题得证．

解答：解：（1）易知，函数定义域为R，且f(x)=

1-2x

2(2x+1)

                 （1分）
由f(-x)=

1-2-x

2(2-x+1)

=-f(x)       （4分）
故函数f（x）为奇函数．                                          （5分）
（2）当x＞0时，g(x)=

1-2x

2(2x+1)

•x＜0；                    （7分）
易知，g（x）为偶函数．                                    （8分）
故当x＜0时，g（x）＜0．                                （9分）
因此，对于任意x≠0，都有g（x）＜0．               （10分）

点评：判断函数的奇偶性应该先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数不具有奇偶性，若对称，再检验f（-x）与f（x）的关系．本题属于中档题目．