Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O，E分别为B₁D，AB的中点．
（1）求证：OE∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：OE⊥面B₁DC．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，由于O，F分别是B₁D与B₁C的中点，利用三角形中位线定理可得，即四边形OEBF是平行四边形，可得OE∥BF，再利用线面平行的判定定理即可得出．
（2）由DC⊥面BCC₁B₁，可得BC₁⊥DC，又可得BC₁⊥面B₁DC，而BC₁∥OE，即可证明．

解答 证明：（1）连接BC₁，设BC₁∩B₁C=F，连接OF，
∵O，F分别是B₁D与B₁C的中点，
∴OF∥DC，
又E为AB中点，∴EB∥DC，
∴四边形OEBF是平行四边形，
∴OE∥BF，
又OE?面BCC₁B₁，BF?面BCC₁B₁，
∴OE∥面BCC₁B₁．
（2）∵DC⊥面BCC₁B₁，BC₁?面BCC₁B₁，
∴BC₁⊥DC，
又BC₁⊥B₁C，且DC，B₁C?面B₁DC，DC∩B₁C=C，
∴BC₁⊥面B₁DC，
而BC₁∥OE，∴OE⊥面B₁DC．

点评 本题考查了空间线面位置关系、三角形中位线定理、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．