Question

设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上．设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．
（1）求的值；
（2）证明：圆与轴必有公共点；
（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）1   （2）见解析    （3）存在，

试题分析：（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得p的值；
（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；
（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量 的坐标，由恒成立求解点M的坐标．
（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得．
（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为
由得方程，
由直线与抛物线相切，得      
且，从而，即，       
由，解得，         
∴的中点的坐标为
圆心到轴距离，
 
∵ 
所圆与轴总有公共点．
（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或
所以平面上存在定点，使得圆恒过点．