Question

已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+m．
（1）若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
（2）若直线l是圆心下方的切线，当a在（0，4]变化时，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径，再求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得：L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

最后由二次函数法求解．
（2）由直线l与圆C相切，建立m与a的关系，|m-2a|=2

2a

，再由点C在直线l的上方，去掉绝对值，将m转化为关于a二次函数求解．

解答：解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2

a

．
直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=

|4-2a|

2

=

2

|2-a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2

(2 a )2-( 2 |2-a|)2

=2

-2a2+12a-8

=2

-2(a-3)2+10

∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2

10

．

（2）因为直线l与圆C相切，则有

|m-2a|

2

=2

a

，
即|m-2a|=2

2a

．
又点C在直线l的上方，∴a＞-a+m，即2a＞m．
∴2a-m=2

2a

，∴m=(

2a

-1)2-1．
∵0＜a≤4，∴0＜

2a

≤2

2

．
∴m∈[-1，8-4

2

]．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相切构建了函数模型，求参数的范围，以及直线与圆相交，由圆心距，半径和圆的弦长构成的直角三角形．