Question

求满足下列条件的曲线方程：
（1）经过两点P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的椭圆的标准方程；
（2）与双曲线

x2

9

-

y2

16

=1有公共渐近线，且经过点（-3，2

3

）的双曲线的标准方程；
（3）焦点在直线x+3y+15=0上的抛物线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，代入点的坐标，建立方程组，即可求得椭圆的标准方程．
（2）据共渐近线的双曲线的方程的一般形式设出双曲线的方程，将点的坐标代入求出待定系数λ，即得到要求的双曲线方程．
（3）分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．

解答：解：（1）依题意，可设椭圆的方程为

x2

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0），则
∴椭圆经过两点P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)，
∴

12

m

+

1

n

=1且

3

m

+

4

n

=1
∴m=15，n=5
∴经过两点P(-2

3

，1)，Q(

3

，-2)的椭圆的标准方程为

x2

15

+

y2

5

=1；
（2）设所求双曲线的方程为

x2

9

-

y2

16

=λ（λ≠0），
将点（-3，2

3

）代入得λ=

1

4

，
所求双曲线的标准方程为

4x2

9

-

y2

4

=1；
（3）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15；
∴抛物线的焦点坐标为：（-15，0），（0，-5）
当焦点为（-15，0）时，即

p

2

=15，
∴p=30，此时抛物线方程为：y²=-60x：
当焦点为（0，-5）时，即

p

2

=5，
∴p=10，此时抛物线方程为：x²=-20y；
故所求抛物线的标准方程为：y²=-60x 或x²=-20y．

点评：本题考查圆锥曲线的标准方程和简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．