Question

已知数列a_n满足a₁=1，n≥2时，

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）求{

3n

an

}的前n项和．

Answer 1

分析：要证明数列{

1

an

}为等差数列，只要证明可得

1

an

-

1

an-1

=2，由已知

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

 整理可得，
a_n-1-a_n=2a_n-1a_n，即

1

an

-

1

an-1

=2，从而可证
（2）由（1）可求a_n，从而可得

3n

an

=(2n-1)3n，利用错位相减法求数列的和即可

解答：解：（1）证明：由已知

an

an-1

=

2-3an

an-1+2

．
整理可得a_n-1-a_n=2a_n-1a_n（n≥2），
同时除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=2，
所以{

1

an

}为首项为

1

a1

=1，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）可知，

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，
所以

3n

an

=(2n-1)3n，
S_n=1×3+3×3²+…+（2n-1）×3ⁿ①
3S_n=1×3²+3×3³+…+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
①-②得-2S_n=3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
所以得S_n=（n-1）3ⁿ⁺¹+3

点评：本题主要考查了利用定义及构造法构造等差数列的形式，还考查了数列求和中的错位相减，错位相减是数列求和的考查重点及热点，但也是数列求和方法中的一个难点．