Question

已知圆C：（x+2）²+y²=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足

.

AM

= 2

.

AP

，

.

NP

-

.

AM

=0，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为

5

6

π的直线l交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，知NP为AM的中垂线，|

NA

| =|

NM

|，所以|

NA

| +|

NC

| =|

NM

| +|

NC

| =2

6

＞4=|

AC

|，由此能求出N的轨迹方程．
（2）设l的方程是y=

3

3

(x-m)，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=- 3 3 (x-m) x2 6 + y2 2 =1

，得：2x²-2mx+m²-6=0，由△＞0，得-2

3

＜m＜2

3

，x1+x2=m，x1x2=

m2-6

2

，由点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得

QC

•

QD

＜0，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（1）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，知NP为AM的中垂线，
∴|

NA

| =|

NM

|，∴|

NA

| +|

NC

| =|

NM

| +|

NC

| =2

6

＞4=|

AC

|，
∴N的轨迹是椭圆，c=2，a=

6

，即N的轨迹方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由题意，l的方程是y=

3

3

(x-m)，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=- 3 3 (x-m) x2 6 + y2 2 =1

，消去y，整理得：2x²-2mx+m²-6=0，
由△＞0?4m²-4×2（m²-6）＞0?-2

3

＜m＜2

3

，
∴x1+x2=m，x1x2=

m2-6

2

，
又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得

QC

•

QD

＜0，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
x1x2-(x1+x2)+1+(-

3

3

)2(x1-m)(x2-m)＜0，
∴

4

3

x1x2-(1+

1

3

m) (x1+x2)  +

1

3

m2+1＜0，
∴2m²-3m-9＜0，
即-

3

2

＜m＜3．
综上所述，m的取值范围(-

3

2

，3)．

点评：本题考查轨迹方程的求法和求实数m的取值范围．解题时要认真审题，注意合理地挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．