Question

已知前n项和为S_n的等差数列{a_n}的公差不为零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最小值为S₇，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为a₄，a₅，a₈成等比数列，所以．
设数列{a_n}的公差为d，则．（3分）
将a₂=3代入上式化简整理得d²+2d=0．又因为，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+7．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是S₇=-7，
所以函数f（x）的最小值为-7，由A＞0，于是A=7． （2分）
又因为函数f（x）在处取得最小值，则，因为0＜φ＜π，所以．
故函数f（x）的解析式为． （2分）
于是由2kπ-π≤3x≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为．（2分）
分析：（Ⅰ）利用a₄，a₅，a₈成等比数列，设数列{a_n}的公差为d，则，求出d．然后求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n，利用S₇=-7，推出A=7．又函数f（x）在处取得最小值，求出．推出函数f（x）的解析式，求出函数f（x）的单调递增区间．
点评：本题考查正弦函数的单调性，等差数列的通项公式，等比数列的性质，考查计算能力．