Question

18．在棱长为2的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，P是对角线O₁B上任意一点，Q为棱B₁C₁的中点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|PQ|的最小值．

解答 解：以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，P是对角线O₁B上任意一点，Q为棱B₁C₁的中点，
∴Q（1，2，2），D₁（0，0，2），B（2，2，0），
设P（a，b，c），$\overrightarrow{{D}_{1}P}=λ\overrightarrow{{D}_{1}B}$，0≤λ≤1，
则（a，b，c-2）=（2λ，2λ，-2λ），
∴P（2λ，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{PQ}$=（1-2λ，2-2λ，2λ），
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（1-2λ）^{2}+（2-2λ）^{2}+（2λ）^{2}}$=$\sqrt{12{λ}^{2}-12λ+5}$=$\sqrt{12（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$，
∴$λ=\frac{1}{2}$时，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．