Question

【题目】如图，AB是异面直线a、b的公垂线，长度为2，点C、D分别在直线a和b上，且CD长为4，过线段AB的中点M作平面α，使得AB⊥平面α，线段CD与平面α交点为N．

（1）求异面直线AB和CD所成的角的大小；

（2）求证：直线a∥α且CN＝DN．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）见解析

【解析】

（1）平移直线得到异面直线所成角，结合直角三角形知识可求;

（2）利用线面平行的性质和中位线性质可证.

（1）过点O作AB的平行线CO，且使CO＝AB，连结BO，DO，

则∠DCO是异面直线AB和CD所成角，∵CO＝AB＝2，CD＝4，∴∠DCO＝60°，

∴异面直线AB和CD所成的角的大小为60°．

（2）设BC∩α＝P，连结MN、MP、PN，∵AB是异面直线a、b的公垂线，AB⊥平面α，

∴AC⊥AB，MP⊥AB，∵MP平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，

∴MP∥AC，∵MPα，ACα，∴直线a∥α．同理可证b∥α，∴PN∥BD，

∵MP∥AC，M是AB中点，∴P是BC中点，∴N是CD中点，∴CN＝DN．